Táguló varázskör Neutrínók és a téridő szimmetriái

{}^{19}

(A tudományos szentségtörés etikai szabályai) Újabb válasz Bentley tiszteletes XVII. századi kérdésére

{}^{31}

Entrópia, Planck, Univerzum ${}^{29}$

²⁹

A hőerőgéptől a Planck-törvényig

A termodinamika kivételes fizikai elmélet. Célkitűzése a makroszkopikus testek energiacserével járó folyamatainak jellemzése. Eredetileg ezt a célt a belső szerkezetre, a mikroszkopikus szabadsági fokokra történő bármiféle utalás nélkül kívánták elérni. Ennek köszönhető alkalmazhatóságának széles tartománya, univerzalitása. Módszereivel sok esetben meglepően erős következtetések nyerhetők a mikroszkopikus szerkezetre vonatkozóan is.

Alapegyenlete valamely egyszerű mechanikai rendszer és környezete között nagyon lassan (csupa egyensúlyi közbenső állapoton keresztül, azaz kvázisztatikusan) zajló energiacserélő folyamatok során az egyszerű rendszerben bekövetkező állapotváltozást korlátozó összefüggést fogalmazza meg:

TdS=dE+pdV.

Itt $T$ a test hőmérséklete, $p$ a nyomása, $d E$ a rendszer belső energiájának, $d V$ a térfogatának infinitezimális megváltozása. A mechanikai munkavégzés és a belső energiaváltozás eredőjeként adódó infinitezimális hőcserét az összefüggés bal oldala adja meg, amelyet az entrópia $d S$ megváltozása kontrollál.

Az entrópia ezen bevezetése Robert Clausius műve. Az ő (és a kutatási területet megalapozó Sadi Carnot) gondolkodását követve a hőerőgépek hatásfoka növelésének feladatára koncentráló fizikusok az entrópiát elsősorban valamely hőcserével járó folyamat jellemzőjeként, elsősorban a munkává alakítható energiában bekövetkező veszteség (disszipáció) szempontjából vizsgálták. Clausius mondta ki azt a mechanika törvényeire vissza nem vezethető állítást, miszerint az entrópia egyetlen természeti folyamatban sem csökkenhet:

dS\geq 0.

A termodinamika a nemredukcionista (azaz a jelenségeket kisebb alkotórészek közötti folyamatokra visszavezetni nem kívánó) fizika nagyszerű teljesítménye. A redukcionista megközelítéstől való tartózkodás olyan erény, amely sok más, összetett nemfizikai rendszer (gazdaság, társadalmi szervezet stb.) kutatóit is arra ösztönzött, hogy saját területükön analóg leírást keressenek, egyszerű szabadsági fokokat azonosítsanak, és ezek változási tendenciáját meghatározó egyenlőtlenség alakú összefüggésre jussanak.

A termodinamikusok mindmáig élénk vitája a termodinamika második főtételéhez vezető axiómák pontos megfogalmazását, a törvénynek alávetett folyamatok egyértelmű körülhatárolását célozza. Ebben a tisztázó folyamatban Max Planck is aktívan részt vett, többek között 1897-ben kiadott tankönyvével, valamint a termodinamika harmadik tételének és az abszolút hőmérséklet fogalmának elfogadtatásáért tett erőfeszítéseivel. Érdemes felfigyelni arra, hogy még élete végén írott tudományos életrajzában is hangsúlyozza, milyen nehézségbe ütközött a Carnot-ciklus levezetésére használt eredeti vízimalom-hasonlatnak (a kaloron-elmélet maradványának) a kiszorítása a fizikusok gondolkodásából.

A második főtétel egyensúlyi rendszerekben egyenlőségként érvényes alakjának integrálása eredményeként meghatározható egy folyamatfüggetlen, a mechanikus állapotleírást kiegészítő makroszkopikus állapothatározó, az entrópia:

S=S(E,V)+S_{0}.

(Ez az összefüggés kiterjeszthető az elektromágneses jelenségekre is.) Az $S_{0}$ integrációs állandót a termodinamika harmadik alaptétele nullára rögzíti az abszolút hőmérsékleti skála nulla-pontjában.

A termodinamika redukcionista megközelítése (a közvélekedés szerint: megalapozása) a Ludwig Boltzmann által javasolt statisztikus mechanikán alapul, amelynek lényegét Max Planck öntötte tömör és a mechanikus rendszerekről továbblépő általánosítást lehetővé tevő formába (a $k_{B}$ arányossági tényező egy természeti állandó, amely a Boltzmann-állandó nevet viseli):

S_{N}=k_{B}\log W_{N}.

A kulcskérdés a $W_{N}$ mennyiség (amelyet termodinamikai valószínűségnek neveznek) meghatározása, azaz az $N$ megkülönböztethetetlenül azonos részecskéből álló rendszer valamely, rögzített energiájú makroállapotát megvalósító mikroállapotok megszámolása. Ez a lépés két kritikus kérdést hordoz magában. Az első: az adott állapot szempontjából alapvetőnek tekinthető alkotórészek (szabadsági fokok) azonosítása. A második: a szabadsági fokok diszkretizálása megszámlálásuk előfeltételeként.

A termodinamikus Planck sokáig kritikusan vélekedett a mechanika időtükrözésre szimmetrikus törvényeit a valószínűségi megközelítéssel ötvöző statisztikus mechanikai irányzatról. Szerepet játszott a molekuláris káosz kiegészítő fogalmának kialakításában, amely a mechanika törvényein túllépő feltétel a folyamatok időirányának meghatározásában. Tudományos felfogásában igazi személyes fordulatnak tűnik, hogy az elektromágneses térrel termikus egyensúlyban lévő abszolút fekete test sugárzási spektrumának értelmezésére a Boltzmann-féle valószínűségi entrópiafogalomra épülő elméletet dolgozott ki.

A termikus egyensúlyban lévő test sugárzásának jelenségében is, mint a termodinamika egész konstrukciójában, valószínűleg az univerzalitás ragadta meg. Ma ezt úgy fogalmazhatjuk, hogy a hőmérsékleti sugárzás spektruma független attól, hogy a laboratóriumban gondosan hőszigetelt, tükröző falú tartály belsejében fellépő vagy a Világegyetem egészét kitöltő elektromágneses állóhullámok valósítják-e meg. Ezt felismerve Planck a végeredmény szempontjából közömbös modellrendszert választott: egyetlen, elektromosan töltött harmonikus oszcillátor kölcsönhatását vizsgálta az abszolút fekete testet megvalósító üregrezonátor elektromágneses állóhullámaival. Termodinamikusként eltért kortársai megközelítésétől, akiknek erőfeszítései közvetlenül az üreg/oszcillátor kis frekvenciatartomány-beli energiasűrűségének meghatározására irányultak. ³⁰ Tudván, hogy az entrópia a rögzített térfogatú rendszerben az energiának egyértelmű függvénye, $N$ darab $\nu$ frekvenciájú oszcillátor halmazára érvényes entrópia-energia összefüggés megalkotását tűzte ki céljául.

Kiindulásként a fenti entrópiaképletet használta. A feladat $N$ oszcillátor $N E$ teljes energiájú makroállapotához tartozó mikroszkopikus állapotok $W_{N}$ számának meghatározása volt. Erre irányuló próbálkozásai során folyamodott az energiakvantálás ,,kétségbeesett” feltevéséhez, ahol az elemi energiacsomag nagyságát $\varepsilon$ jelöli:

NE=P\varepsilon.

Nagyon nagyszámú oszcillátorhoz nagyon nagy $P$ érték választása szükséges. Ebben a határesetben Stirling képlete segítségével értékelte ki $W_{N}$ kombinatorikai képletét, amellyel eljutott az egyetlen oszcillátor entrópiájának képletéhez:

S=k_{B}[(1+E/\varepsilon)\log(1+E/\varepsilon)-(E/\varepsilon)\log(E/% \varepsilon)].

Miután a termodinamikában az entrópiának a belső energia szerinti parciális deriváltja adja a $T$ hőmérsékletet, a fenti képletből adódik az

1/T=k_{B}/\varepsilon[\log(1+E/\varepsilon)-\log(E/\varepsilon)]

összefüggés. Ebből azután kifejezhető az oszcillátor $E$ belső energiája $T$ hőmérsékleten, amit az oszcillátorok állapotsűrűségével megszorozva Planck megkapta a róla elnevezett sugárzási törvényt. A kapott összefüggésnek a Wien-törvénnyel való összevetése is szükséges még, ami végül az energiakvantumra az

{\varepsilon=h\nu}

arányosságot követeli meg.

Közismert, hogy Planck jelentős, de hiábavaló erőfeszítést tett az energiakvantálási feltételtől való megszabadulásra. Ez a törekvés érthető, hiszen a fentiek szerint ő pusztán a szabadsági fokok (a mikroállapotok) megszámlálhatósága érdekében diszkretizálta az oszcillátorhalmaz energiáját. Einstein és követői a legkülönfélébb anyagi rendszerek elemi oszcillátorként viselkedő szabadsági fokaira alkalmazták a kvantálás eljárását. A szilárd testek fajhőjétől a fényingadozások statisztikájáig siker sikert követett.

Az entrópia megszületésétől a sugárzás entrópiájáig vezető, fél évszázadot átfogó történet összefoglalásául idézni kívánom Varró Sándor kommentárját, amelyet Max Plancknak az 1911-es Solvay-konferencián tartott előadására alapozott: ,,Az energia kvantáltságának gondolata Boltzmannak 1872-ben és 1877-ben megjelent munkáira vezethető vissza. Bár Boltzmann pusztán matematikai eszköznek tekintette a diszkrét elemi energiacsomagokat, mégis második cikkében, amelyben elvégezte a (termodinamikai) valószínűség kombinatorikai elemzését, és kiszámította annak maximumát, megkapta a gáz molekulái által hordozott energiacsomagok (Bose-)eloszlását. Planck megjegyezte, hogy a kombinatorikus megvalósítások teljes száma, illetve azok maximális valószínűséggel bekövetkező konfigurációinak száma között a különbség elhanyagolható lévén, Boltzmann eredménye egyezik az ő entrópiaképletével.”

Az Univerzum entrópiája és a fekete lyukak

Az Univerzum egészére érvényes termodinamika létét sokan vitatják, ám Stefan és Boltzmann képletével, amelynek együtthatóját Planck sugárzási törvénye meghatározza, könnyen kiszámítható az egykor termikus egyensúlyból lecsatolódott, azóta kölcsönhatásmentes ideális gázként hűlő kozmikus fotonok és neutrínók által hordozott entrópia. A termodinamikai entrópia sűrűsége a hőmérséklet harmadik hatványával arányos. A 10 ${}^{28}$ cm lineáris méretű horizont belsejében a 2,725 K hőmérsékletű foton-gáz és az 1,96 K hőmérsékletű neutrínógáz mindegyike önmagában a nehezen elképzelhető óriási nagyságrendet képviselő 10 ${}^{88}$ entrópiával rendelkezik. A gravitációs energia hipotetikus kvantumai, a gravitonok jóval korábban, azaz alacsonyabb hőmérsékleten csatolódtak le, az utolsó lecsatolódás előtti pillanat egyensúlyának tulajdonságát őrző gázuk ezért kisebb, 10 ${}^{86}$ nagyságú entrópiát hordozhat $k_{B}$ egységben mérve.

Az Univerzumban található nemrelativisztikus állapotú (csillagokká sűrűsödött) anyag entrópiája az anyag-antianyag aszimmetria értéke alapján becsülhető meg. Utóbbi értéke érzékenyen befolyásolja a kozmikus háttérsugárzás észleléseit, így elég pontosan ismert a háttérsugárzás entrópiájához viszonyított értéke: $N(\text{anyag})/S(\text{foton})\approx 10^{-9}$ , azaz az entrópiának az anyagmennyiséggel való arányossága miatt $S(\text{anyag})\approx 10^{79}$ . Az Univerzum energiasűrűségét domináló sötét anyag és sötét energia entrópiatartalmáról egyelőre nincs információ.

Mindezek a becslések az egykor fennálló termikus egyensúlyból kiinduló termikus történethez kapcsolódnak, termodinamikai jellegűek. A statisztikus Boltzmann-definíciót használva azonban az entrópia tulajdonságát az 1970-es években sikerült alapvetően általánosítani. E fejlemények alapján úgy tűnik, hogy az Univerzumban a szupermasszív fekete lyukak entrópiatartalma a meghatározó.

Jacob Bekenstein 1973-ban, 26 éves korában írta meg tudománytörténeti jelentőségű Black Holes and Entropy című cikkét. A hagyományos termodinamika keretei között a fekete lyukakhoz kapcsolható entrópiaparadoxonra John A. Wheeler figyelt fel, és Bekenstein számára PhD-témának adta a kérdéskört. Bekenstein Hawking munkáját használta kiindulásként, aki általános tétel szintjére emelte Wheeler másik diákjának, Christodoulounak bizonyos egzakt feketelyuk-megoldások fejlődésére vonatkozó észrevételét. Hawking tétele szerint a fekete lyuk tartományát a külső megfigyelőtől elfedő horizont felülete bármely folyamatban csak nőhet. Például két fekete lyuk összeolvadásakor a létrejövő állandósult állapotú objektum felülete nem lehet kisebb a két kiindulási fekete lyuk felületének összegénél. Bekenstein cikke bevezetésében megjegyzi, hogy ,,mindez a termodinamika második tételére emlékeztet…, a hasonlóság alapján érdemes a fekete lyukak fizikáját termodinamikai szempontból vizsgálni”.

Cikkében javaslatot tett a fekete lyukak entrópiájának és felületének arányos mennyiségként történő azonosítására, és ezzel sikeresen általánosította a termodinamika második tételét a fekete lyukak részvételével zajló folyamatokra. Bekenstein entrópiaképlete a következő:

S_{\text{fekete lyuk}}=(A/4h)k_{B}\text{ln}2,

ahol a fekete lyuk felülete $A$ , $h$ pedig a Planck-állandó. A kvantumosságot jellemző $h$ állandó megjelenését az entrópia és a felület mértékegysége közötti átváltás indokolja. Ez az egyetlen univerzális természeti állandó, amely a jó dimenziót adja.

A $k_{B}\text{ln}2$ mennyiség megadja azt az entrópiát, amelyet az igen-nem válasszal eldönthető kérdés információtartalmával, azaz 1 bittel társítanak. Megjelenése annak köszönhető, hogy Bekenstein tudatosan támaszkodott javaslata bevezetésében Shannon (és Brillouin) információelméleti entrópiafogalmára:

S_{\text{információ}}=-I=-\Sigma_{n}p_{n}\text{ln}p_{n}.

Ebben a képletben $p_{n}$ valamely rendszer $n$ -dik állapotának megvalósulási valószínűségét adja meg. A rendszer informatikai entrópiáját e mennyiségekből képzett kifejezésekre összegzéssel ( $\Sigma_{n}$ ) képezzük. Az egyensúlyi állapotukhoz közeledő rendszerek fokozatosan ,,elfelejtik” speciális kezdeti állapotukat, azaz információtartalmuk csökken, ez magyarázza az $S$ entrópia és az $I$ információtartalom közötti negatív relatív előjelet.

A fekete lyukakat az úgynevezett ,,kopaszsági tétel” miatt kisszámú makroszkopikus adatuk, azaz tömegük, elektromos összes töltésük, teljes impulzusmomentumuk kimerítő mértékben jellemzi a külső megfigyelő számára. Belső szerkezetükről semmiféle további információ nem nyerhető, például teljesen érdektelen, hogy adott tömegű fekete lyuk milyen folyamat eredményeképpen alakult ki. Entrópiájuk a belső szerkezetre vonatkozó információ hiányának mértékét adja meg. Wheeler arra a körülményre hívta fel a figyelmet, hogy a fekete lyuk által elnyelt anyag mikroszerkezetébe foglalt termodinamikai entrópia mintegy ,,eltűnik” a megfigyelő elől, azaz ez a folyamat ellentmondani látszik a termodinamika második tételének. A folyamat ugyanakkor mindig a fekete lyuk felületének megnövekedésével jár, amelynek nagyságáról Bekenstein kimutatta, hogy kvantumeffektusok miatt nem lehet kisebb a Planck-állandó kétszeresénél. Bekenstein az információvesztést entrópianövekedésként értelmezte. A megváltozást egyenlővé tette a pontszerű részecske által hordozott 1 bitnyi információnak a fekete lyukba való behulláskor bekövetkező elvesztéséhez tartozó entrópianövekedéssel, amivel éppen a javasolt (a fenti képlet arányossági tényezőjeként megadott) átváltási faktort kapta az entrópia és a fekete lyuk felülete között.

Bekenstein több, részletesen elemezhető példán mutatta meg, hogy egy fekete lyukba behulló egyszerű fizikai rendszer (például egy harmonikus oszcillátor) a teljes rendszer (fekete lyuk + oszcillátor) általánosított entrópiájának növekedését eredményezi. Ez a változás egyáltalán nem feltétlenül termikus, az egyensúlyra vonatkozóan semmiféle feltevéssel nem élt. Ez a termodinamika általánosított második törvénye.

Kvázisztatikus tömegelnyelésre azon észrevétel alapján terjesztette ki a második főtétel differenciális alakját, miszerint az ismert megoldásokban a fekete lyuk horizontjának felülete arányos annak tömegével. A tömeget a belső energiával azonosítva feltételezte, hogy a hőcsere és az energiacsere közötti arányosság érvényes a fekete lyukakra is:

dM_{BH}=T_{BH}dS_{BH}.

Ezzel viszont hőmérsékletet is értelmezett a fekete lyukak felszínének ( $T_{BH}$ ), amelytől egyenes út vezetett a fekete lyuk hőmérsékletéhez tartozó Hawking-sugárzáshoz.

A fekete lyukak előfordulási gyakorisága és jellemző tömege alapján az általuk hordozott entrópiára könnyen kapható becslés. Csillagászati megfigyelések alapján gyanítható, hogy minden galaxismagban, akárcsak a mi galaxisunkban, egy szupermasszív, a Nap tömegének tízmilliószorosát tartalmazó fekete lyuk helyezkedik el. Az Univerzum belátható részében található galaxisok számát $10^{11}$ -re becsülik. Bekenstein képletét alkalmazva a fekete lyukak teljes entrópiájára az $S_{BH}\approx 10^{102}$ becslés adható. Levonható a tanulság, hogy az ismert anyagi alkotórészeknek az entrópiába adott termikus járulékát a fekete lyukaknál figyelembe vett információvesztésből származó járulék sok nagyságrenddel felülmúlja. Felmerül a kérdés: egyáltalán van-e felső korlát az Univerzum entrópiájára?

Hologram a világ!

A világ fundamentális alkotóelemeit a kvantumtérelmélet háromdimenziós ráccsal modellezi, amelynek rácspontjaihoz, illetve a szomszédos rácspontokat összekötő élekhez társítja az önálló, egymással összecsatolt dinamikával rendelkező szabadsági fokokat. A rácspontok távolságát az $l_{\text{Planck}}$ Planck-hosszal becsülhetjük; az ennél kisebb hosszúságnak egyszerűen nincs értelme. A Planck-hosszúság 10 ${}^{-35}$ m.

Egy szabadsági fok állapotának ismeretéhez 1 bit információt rendelve a látható Világegyetem $V$ térfogatának Boltzmann–Shannon-entrópiájára

g_{\ast}Vk_{B}\text{ln}2/l_{\text{Planck}}^{3}

becslés adható. A $g_{\ast}$ az egy rácsponthoz tartozó szabadsági fokok száma. Ez a részecskefizika Standard Modellje szerint nagyjából száz körüli szám. Ezzel a megközelítéssel az Univerzum informatikai entrópiáját 10 ${}^{192}$ -re becsülnénk. A szuperszimmetrikus sötét anyaggal kiegészített elmélet legfeljebb egy nagyságrenddel növelheti meg ezt a becslést.

Bekenstein 1994-ben felhívta a figyelmet arra, hogy valamely térrészben növelve az ott koncentrált energiát (az elemi részek nyelvén: a részecskesűrűséget), elérünk egy határt, amikor a tartománynak a fent vázolt térelméleti leírása értelmét veszti, mert a térrész fekete lyukká alakul. A következő gondolatkísérletet elemezte. Képzeljünk el egy tértartományt, amelynek entrópiája nagyobb, mint az ahhoz a térrészhez tartozó fekete lyuké. Ha nincs ott egy fekete lyuk, akkor fel kell tételeznünk, hogy azért nincs, mert kisebb energiával (tömeggel) rendelkező állapot valósul meg. Kezdjünk ezután tömeget adni ehhez a tartományhoz. (Ezt a gondolatkísérletet szokás Susskind-folyamat nak is hívni a javaslattevő stanfordi fizikus neve után.) A tömeghatárt elérve megtörténik a feketelyuk-képződés, de a végállapot entrópiája kisebb, mint a kiinduló állapoté. Ez a folyamat sértené az általánosított entrópia növekedésének elvét. A konklúzió az, hogy egy $V$ térfogatú tértartomány tetszőleges állapotának maximális entrópiáját a fekete lyukkal társuló

S_{\text{max}}=Ak_{B}\text{ln}2/l_{\text{Planck}}^{2}

képlettel lehet megbecsülni. A világegyetem maximális entrópiájára ezzel 10 ${}^{126}$ adódik.

Ehhez képest az ismert anyagformák termikus entrópiája elhanyagolható. Erre R. Boussónak az előzőhöz hasonló alakra hozott becslése világít rá a legtisztábban. Egy $R$ sugarú tartományban a relativisztikus részecskékkel társított entrópiára és energiára fennállnak az

S\approx R^{3}T^{3},\quad E\approx R^{3}T^{4}

arányosságok. Miután az energia nagyságát korlátozza a fekete lyuk kialakulásának esélye,

E\leq R,

ezért a relativisztikus részecskék gázának hőmérsékletére adódik a

T\leq R^{-1/2}

nagyságrendi korlát. Ezt az entrópiatartalom képletébe helyettesítve látható, hogy

S\leq R^{3/2}\approx A^{3/4}.

Érdekfeszítő kérdés, mi történik az éppen fekete lyukká alakuló anyag téridőszerkezetével, esetleg a mikroállapotainak számával, amelynek eredményeként az entrópia a felülettel lineáris arányossági kapcsolatra vált át.

A fent ismertetett gondolatok abban a megállapításban foglalhatók össze, hogy a gravitációs stabilitás korlátozza a valamely tértartományban tárolható maximális információtartalmat. A termodinamikai, statisztikus fizikai és informatikai entrópiafogalmak összekapcsolódásának felismerése vezethette John Wheelert arra a kijelentésre, hogy a fizika tárgya alapvetően a Világegyetem fundamentális információtartalmának a feltárása. Ennek ellenére nem várható, hogy a fizikusok elözönlenék a hazai és nemzetközi információtechnológiai pályázatokat. Ugyanis a fenti megállapításoknak a napi haszontermelésnél sokkal izgalmasabb következményei ígérkeznek.

G. ’t Hooft 1993-ban radikális általánosítását adta Bekenstein észrevételének, amikor a Világegyetem egészét leírni képes, a jövőben megalkotandó elmélet szerkezetére felállította azt a hipotézist, hogy abban a független szabadsági fokok kétdimenziós sokaságot alkotnak. Miután óriási tartományról van szó, a határoló felület közelítően síkkal ábrázolható. A tartomány belsejében zajló folyamatok teljes információtartalma ezen a távoli ,,vetítővásznon” elhelyezkedő szabadsági fokokban rejlő információval meghatározott, és a határ viselkedéséből információvesztés nélkül származtatható. ’t Hooft párhuzamba állította ezt az elképzelést a háromdimenziós képek kétdimenziós felületen történő tökéletes kódolásával, a hologrammal. Ennek alapján a fentebb szereplő entrópiakorlátot holografikus felső korlátnak hívják.

A történet lezáratlanul vezet a mai részecskefizikai kutatások élvonalába, miután Klebanov és Susskind, valamint Thorn felismerték, hogy a húrelméletnek van olyan megfogalmazása, amely teljes mértékben megfelel ’t Hooft várakozásának. Ugyanakkor mindmáig izgalmas vitakérdést jelent, hogy a fundamentális (Planck-hossznyi méretekben releváns) szabadsági fokok számát általában korlátozza-e a holografikus elv . A Hawking-sugárzás termikus (,,információmentes”) sugárzás, amelynek alapján Hawking azon várakozásának adott hangot, hogy a fekete lyukba került információ elvész. Az elemi reakciók nyelvén a gravitációs kölcsönhatások szerinte sértenék a valószínűség megmaradásának elvét ( az uniteritást ). Más kutatók érvelése szerint a fekete lyukak keletkezése és elpárolgása is unitér (időben fordítva is lejátszódható) folyamat. Nemrég látványos színpadias gesztussal Hawking is átállt erre az oldalra, azaz a holografikus elvet elfogadók táborába.

Zárásként az abszolút fekete test egykori és a fekete lyuk jelenkori tudománytörténeti szerepe közötti párhuzam lehetőségére hívnám fel a figyelmet. Az abszolút fekete test sugárzásának univerzális jellege lehetővé tette, hogy Plancknak arra talált kvantumos leírását csakhamar más jelenségkörben fellépő ,,oszcillátorokra” is kiterjesszék, amiből néhány évtized alatt kialakult a kvantum-természettudomány. Elképzelhető, hogy hasonló univerzalitású elméleti keretté épül a fekete lyukak entrópiájára alapozott entrópiamaximum tulajdonságának a tetszőleges objektum által hordozott információtartalom minimumára történő kiterjesztése. Ennek megítélése a holografikus megközelítéssel az elemi kölcsönhatások részelméleteiben (például az erős kölcsönhatásokat leíró kvantum-színdinamikában) elérhető egészen konkrét eredményeken múlik majd.

Megjelent Max Planck születésének 150. évfordulója alkalmából a Fizikai Szemle 2008. szeptemberi számában (281–286. o.) ^[return]

A mai tankönyvek szinte kizárólag ezt az utat követik, ezért nem árt Planck eredeti gondolatát felidézni. ^[return]

Entrópia, Planck, Univerzum 29

A hőerőgéptől a Planck-törvényig

Az Univerzum entrópiája és a fekete lyukak

Hologram a világ!

Entrópia, Planck, Univerzum ${}^{29}$